Problemas diofánticos

Pedro González Ruiz

Introducción

Un problema diofántico es aquel en el que sólo interesan las soluciones enteras, descartándose todas las demás. Por ejemplo, la ecuación:

x + y = 10

tiene infinitas soluciones. Algunas de ellas son:

pero si utilizamos la palabra diofántica, y consideramos, por tanto, la ecuación diofántica:

x + y = 10

entonces, de las tres soluciones anteriores, solamente la primera y tercera deben considerarse, y la segunda eliminarse, puesto que aparecen números decimales.

Veamos otro ejemplo muy común en el estudio de las ecuaciones y sistemas. En un corral hay conejos y gallinas, contándose en total 22 patas. ¿Cuántas gallinas y conejos hay?. Si llamamos x al número de gallinas e y al número de conejos y teniendo en cuenta que una gallina tiene dos patas y un conejo cuatro, resulta la ecuación:

2x + 4y = 22

que, después de simplificar, se queda en

x + 2y = 11

Éste es un problema diofántico, pues tanto x como y deben ser números enteros. El lector puede comprobar que las soluciones de la ecuación son:

Observemos que por la propia naturaleza del problema, también se han descartado soluciones enteras con valores negativos.

Resumen de los temas tratados en los capítulos

En el capítulo 2 se explican los conceptos básicos de teoría de números necesarios para comprender los demás. En concreto, se tratan los siguientes temas:
1. Divisibilidad.
2. Congruencias.
3. Ecuación diofántica lineal.
4. Tres variantes del teorema del resto chino.
5. Cálculo del inverso de un número módulo m.
El capítulo 3 está dedicado al estudio y resolución de la ecuación pitagórica:
x²+y² = z²

Es necesario disponer de soluciones de la ecuación anterior, razón por la cual se incluye un programa problemas-pitagoricos.stk para conseguirlo. Más adelante se explica cómo ponerlo en funcionamiento.
El capítulo 4 está dedicado a la resolución del siguiente problema: dado el siguiente triángulo rectángulo ABC, A = 90º

Los catetos son b,c y la hipotenusa es a. Las proyecciones de los catetos b y c sobre la hipotenusa son u y v, con a = u+v. La altura sobre la hipotenusa es h. Pues bien, se trata de buscar un algoritmo de forma que todas las medidas sean números naturales.
Como muestra de ello, tenemos el siguiente:
El capítulo 5 está dedicado a los siguientes problemas:
1. Dado un plano ax+by+cz+d=0 con coeficientes enteros, buscar una parametrización con coeficientes enteros.
2. Dada una recta r como intersección de dos planos con coeficientes enteros, buscar una parametrización con coeficientes enteros.
3. ¿Cómo plantear un problema consistente en que dados dos vectores tridimensionales de coordenadas enteras, buscar un vector unitario perpendicular a ambos, cuyas coordenadas sean números racionales?.

El capítulo 6 está dedicado al planteamiento de problemas para el cálculo analítico de las bisectrices e incentro en el plano. Si no llevamos cuidado, aparecen radicales que hacen impracticable el método. Mediante métodos elementales de la teoría de números, llegamos, por ejemplo, al siguiente triángulo, con vértices de coordenadas enteras:

cuyas bisectrices e incentro son:

Si conoce Maple puede ahorrarse muchos cálculos mientras busca la forma final del problema. Además, puede mostrar dibujos reales con ayuda del paquete geometry. Vamos a mostrarlo aquí. A modo de plantilla, los pasos a seguir son los siguientes:

Cargue el paquete geometry. Para ello, utilice la orden:
```
with(geometry);
	    
```

Defina el triángulo. Hágalo, por ejemplo, por los vértices. Para ello, utilice la orden:

triangle(ABC,[point(A,-2,-1),point(B,54,32),point(C,14,62)]);

el primer argumento ABC es el nombre que quiere darle al triángulo.

Si quiere detalles del triángulo que acabamos de definir, escriba:

detail(ABC);
   GeometryDetail(["name of the object", ABC], 

     ["form of the object", triangle2d], 

     ["method to define the triangle", points], 

     ["the three vertices", [[-2, -1], [54, 32], [14, 62]]])

Calcule las bisectrices interiores. Para ello, entre:
```
bisector(bA,A,ABC):bisector(bB,B,ABC):bisector(bC,C,ABC):
	    
```
Por ejemplo, en la orden bisector(bA,A,ABC), el primer argumento bA es el nombre que quiere darle a la bisectriz, bA en éste caso. El segundo argumento es el vértice por el que pasa la bisectriz y el tercero el nombre del triángulo.

Si queremos conocer la bisectriz bA, y entramos:
```
bA;
                               bA
	    
```
no sale nada. En su lugar, escribimos, como antes:
```
detail(bA);
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively
                /                            
  GeometryDetail\["name of the object", bA], 

                                    [                        
    ["form of the object", line2d], ["equation of the line", 

            (1/2)             (1/2)              (1/2)    ]\
    -96 4225      _x + 72 4225      _y - 120 4225      = 0]/

	    
```
Observe el aspecto tan deplorable de la bisectriz. Eliminando los radicales y dividiendo por el máximo común divisor de 96, 72 y 120 obtenemos finalmente:

-4x+3y-5=0

Calcule el incentro. Para ello, entre:

incircle(inc,ABC):

El primer argumento es el nombre que quiere asignarle. Si quiere informarse, introduzca:

detail(inc);
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively
                /                             
  GeometryDetail|["name of the object", inc], 
                \                             

    ["form of the object", circle2d], 

    ["name of the center", center_inc], 

    [                             [    101]]  
    ["coordinates of the center", [24, ---]], 
    [                             [     3 ]]  

    [                        50]  [                          
    ["radius of the circle", --], ["equation of the circle", 
    [                        3 ]  [                          

    4295     2     2           202       ]\
    ---- + _x  + _y  - 48 _x - --- _y = 0]|
     3                          3        ]/

Dibújelo todo. Para ello, introduzca:

draw([ABC(color=green,thickness=3),bA(color=blue),bB(color=blue),bC(color=blue)]);

cuya salida es:

Uso del programa `problemas-pitagoricos.stk`

El programa está hecho en Scheme-Lisp, en una de sus versiones, stklos, y funciona bajo el sistema operativo Linux. Para poder utilizarlo descargue el intérprete stklos de su página Web, en concreto

Página principal de STklos

Una vez descargado, siga las instrucciones de compilación e instalación. Ésta es la opción más sencilla, aunque debe poseer conocimientos sobre ello. Debe prestar atención a las librerías que necesita tener instaladas en el sistema para que el proceso de compilación tenga éxito.

Cuando lo haya conseguido, en un emulador de terminal (xterm por ejemplo), escriba:

pedro@servidor2:~/maniobras> stklos
*   STklos version 1.10
 *  Copyright (C) 1999-2011 Erick Gallesio - Universite de Nice 
* * [Linux-3.16.7-24-desktop-x86_64/pthread/no-readline/utf8]
stklos> (load "problemas-pitagoricos.stk")

y siga las instrucciones contenidas en la documentación.

Si conoce Emacs o Xemacs, mejor todavía, porque puede recuperar órdenes del intérprete y no tener que escribirlas una y otra vez. Así pues, ejecute [x]emacs e introduzca Alt x shell (Alt es la tecla Alt). Acto seguido, introduzca stklos. Por último, recordar que las teclas para subir y bajar en el histórico son Alt p y Alt n.

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